English Lesson-�ngilizce Ders

Dikkat Chat Kutusu Siteden Kald�r�lm��t�r. Sohbet etmek i�in buray� t�klay�n

Sayfada Arama yap

9. s�n�f matematik konu anlat�m� mod�ler aritmetik konusu ders �zeti, lise 1 matematik konu anlat�m�

26/9/2009 � Kategori: Matematik konu anlat�m�

a, b, m birer tam sayý ve m > 1 olmak üzere, tam sayýlar kümesi üzerinde tan�mlanan,

MODÜLER AR�TMET�K

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik ba��nt�s�d�r

b denklik ba��nt�s� oldu�undan

Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazýlýr ve m modülüne göre a sayýsý b ye denktir denir.

Tam sayýlarýn m sayma sayýsý ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar, 0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Her tam sayý m ile bölündüðünde hangi kalaný veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanlarýn her biri, belirlediði denklik sýnýfýnýn temsilci elemaný olarak alýnýrsa, denklik sýnýflarý

Bu denklik sýnýflarýnýn kümesine m nin kalan sýnýflarýnýn kümesi denir ve biçiminde gösterilir.

Buna göre,

Ü	n bir sayma sayýsý ve k bir tam sayý ve a º b (mod m) c º d (mod m) olmak üzere,

a + c º b + d (mod m)
a – c º b – d (mod m)
a × c º b × d (mod m)
aⁿ º bⁿ (mod m)
a – b º 0 (mod m)
k × a º k × b (mod m) dir.
n sayma sayýsý; a, b, m sayýlarýnýn ortak böleni ise dir.
a ile m ve b ile m aralarýnda asal olmak üzere, dir.

deki iþlemler (mod m) ye göre yapýlýr.

Ü x, m nin tam katý olmayan pozitif bir tam sayý ve m bir asal sayý ise,

x^m–1 º 1 (mod m) dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

x ile m aralarýnda asal sayýlar olmak üzere, m nin asal çarpanlarýnýn kuvvetleri biçiminde yazýlmýþ hâli m = a^k . b ^r . c ^p olmak üzere,

m asal sayý ise,

(m – 1)! + 1º 0 (mod m) dir.

Kalici Baglanti Yorum (0) Yorum yaz!

9. s�n�f matematik konular�, 9.s�n�f matemat�k m�fredat� �zeti, lise 1 matematik m�fredat program�, 9.s�n�fta i�lenen matematik dersi konular�

21/9/2009 � Kategori: Matematik konu anlat�m�

ORTA Ö�RET�M MATEMAT�K DERS�

9. SINIF Ö�RET�M PROGRAMI

MANTIK

1. BÖLÜM: MANTIK
aLT ö�RENME aLANLARI ve kazan�mlar
Önermeler

1.Terimi, tan�ml� ve tan�ms�z terimleri örneklerle aç�klar.
2.Önermeyi, önermenin do�ruluk de�erini, iki önermenin denkli�ini ve önermenin olumsuzunu aç�klar.

Bile�ik Önermeler

1.Bile�ik önermeyi aç�klar; ve, veya ba�laçlar� ile kurulan bile�ik önermelerin özelliklerini ve De Morgan kurallar�n� do�ruluk tablosu kullanarak gösterir.
2.Ko�ullu önermeyi aç�klar; ko�ullu önermenin kar��t�n�, tersini, kar��t tersini yazar ve do�ruluk tablosu kullanarak denk olanlar� gösterir.
3.�ki yönlü ko�ullu önermeyi aç�klar, iki yönlü ko�ullu önerme ile ko�ullu önermeler aras�ndaki ili�kiyi belirtir.
4.Ba�laçlar�n özelliklerini kullanarak verilen bile�ik önermelere denk basit önermeleri bulur.
5.Totoloji ve çeli�kiyi örneklerle aç�klar.

Aç�k Önermeler

1.Aç�k önermeyi ve do�ruluk kümesini aç�klar.

2.Her ve baz� niceleyicilerini örneklerle aç�klar, bu niceleyicileri içeren önerme ve bile�ik önermelerin olumsuzunu yazar.

�spat Yöntemleri

1.Tan�m, aksiyom, teorem ve ispat kavramlar�n� aç�klar, bir teoremin hipotezini ve hükmünü belirtir.
2.�spat yöntemlerini kullanarak basit ispatlar yapar.

CEB�R

2. BÖLÜM: KÜMELER
aLT ö�RENME aLANLARI ve kazan�mlar

Kümelerde Temel Kavramlar

1.Kümeleri liste, Venn �emas� ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir.
2.Sonlu, sonsuz ve bo� kümeyi örneklerle aç�klar.
3.Bir kümenin tüm alt kümelerinin say�s�n� ve belirli say�da eleman içeren alt kümelerinin say�s�n� hesaplar.
4.�ki kümenin denkli�ini ve e�itli�ini belirtir.

Kümelerde ��lemler

1.Sonlu say�daki kümelerin birle�im ve kesi�im i�lemlerinin özelliklerini gösterir.
2.�ki veya üç kümenin birle�iminin eleman say�s�n� belirler.
3.Evrensel kümeyi ve bir kümenin tümleyenini aç�klar, tümleme i�leminin özelliklerini ve De Morgan kurallar�n� gösterir.
4.�ki kümenin fark�n� aç�klar, fark i�leminin özelliklerini gösterir.
5.Kümelerdeki i�lemleri kullanarak problemler çözer.

3. BÖLÜM: BA�INTI, FONKS�YON VE ��LEM

aLT ö�RENME aLANLARI ve kazan�mlar

Kartezyen Çarp�m
1.S�ral� ikililerin e�itli�ini örneklerle aç�klar.
2.�ki kümenin kartezyen çarp�m�n� aç�klar, kartezyen çarp�m�n özelliklerini belirtir.

Ba��nt�
1.Bir ba��nt�y� �ema ile gösterir ve ba��nt�n�n grafi�ini çizer.
2.Bir ba��nt�n�n tersini bulur ve grafi�ini çizer.
3.Ba��nt�n�n yans�ma, simetri, ters simetri ve geçi�me özelliklerini örneklerle aç�klar.

Fonksiyon

1.Fonksiyonu �ema ile göstererek fonksiyonun tan�m, de�er ve görüntü kümelerini belirtir.
2.Grafi�i verilen ba��nt�lardan fonksiyon olanlar�n tan�m ve görüntü kümelerini belirler.
3.Bire bir fonksiyonu, örten fonksiyonu, içine fonksiyonu, özde�lik (birim) fonksiyonunu, sabit fonksiyonu ve do�rusal fonksiyonu aç�klar.

��lem

1.�kili i�lemi ve ikili i�lemin özelliklerini aç�klar.

Fonksiyonlarda ��lemler

1.Bile�ke fonksiyonu örneklerle aç�klar, bile�ke i�leminin birle�me özelli�ini göstererek birim eleman�n� belirtir.
2.Bir fonksiyonun bile�ke i�lemine göre tersini bulur, grafi�i verilen fonksiyonun tersinin grafi�ini çizer.
3.Grafi�i verilen bir fonksiyonun baz� de�erlerini hesaplar.
4.Gerçek say�lar kümesinde tan�ml�, f ve g fonksiyonlar�ndan elde edilen f + g , f - g , f . g ve f / g fonksiyonlar�n� bulur.
5.Sonlu bir kümenin tüm permütasyonlar�n� belirleyerek iki permütasyonun bile�kesini ve bir permütasyonun tersini bulur.

4. BÖLÜM: SAYILAR
aLT ö�RENME aLANLARI ve kazan�mlar

Rasyonel Say�lar

1.Rasyonel say�lar� ifade eder ve rasyonel say�lar�n e�itli�ini aç�klar.
2.Rasyonel say�lar kümesinde toplama, ç�karma, çapma ve bölme i�lemleri yaparak toplama ve çapma i�lemlerinin özelliklerini belirtir.
3.�kiden fazla rasyonel say�y� bir e�itsizlik zinciri içinde s�ralar ve bu say�lar� say� do�rusunda gösterir.
4.�ki rasyonel say� aras�nda ba�ka bir rasyonel say� bularak rasyonel say�lar kümesinin yo�un oldu�unu belirtir.
5.Rasyonel say�lar�n ondal�k aç�l�m�n� yapar.

Gerçek Say�lar

1.Rasyonel olmayan say�lar�n (irrasyonel say�lar�n) varl��n� belirtir.
2.Gerçek say�lar kümesinde toplama ve çarpma i�lemlerinin özelliklerini belirtir.
3.Gerçek say�larda e�itsizli�in özelliklerini belirtir.
4.Gerçek say�lar kümesinde aç�k, kapal� ve yar� aç�k aral�klar� ifade eder.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin ve e�itsizliklerin çözüm kümelerini de�i�ik say� kümelerinde bulur

Mutlak De�er

1.Bir gerçek say�n�n mutlak de�erini aç�klar veösteridermail.comtme gere�ini aard�m�ylalik özelliklerini kuldo�al say�y� asal çarpanlar�na ay�r�relliklerini bilir. mutlak de�er ile ilgili özellikleri belirtir.
2.Birinci dereceden bir bilinmeyenli bir veya iki mutlak de�erli terim içeren denklemlerin ve e�itsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
österidermail.comtme gere�ini aard�m�ylalik özelliklerini kuldo�al say�y� asal çarpanlar�na ay�r�relliklerini bilir.
Üslü Say�lar

1.Bir gerçek say�n�n pozitif tam say� ve negatif tam say� kuvvetini aç�klar ve üslü say�lara ait özellikleri gösterir.
2.Üslü say�lar�n e�itli�ini ifade eder ve üslü say�larla ilgili uygulamalar yapar.

Köklü Say�lar

1.Negatif olmayan bir gerçek say�n�n karekökünü ve üslü biçimini aç�klayarak kareköklü say�lara ait özellikleri belirtir ve kareköklü say�larla ilgili uygulamalar yapar.
2.Bir gerçek say�n�n pozitif tam kuvvetten kökünü ve üslü biçimini aç�klayarak köklü say�lara ait özellikleri, üslü say�lar�n özelliklerinden yararlanarak gösterir ve köklü say�larla ilgili uygulamalar yapar.

Problemler

1.Oran ve orant�, yüzde ve faiz, hareket vb. günlük hayatla ilgili problemleri çözer.

Kalici Baglanti Yorum (0) Yorum yaz!

Geometri lise konu anlat�m� ��genlerde benzerlik konusu Benzer ��genler, A�� - A�� Benzerlik Teoremi, Kenar - A�� - Kenar Benzerlik Teoremi, Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi, Temel Benzerlik Teoremi, Benzerlik �zellikleri,

22/2/2009 � Kategori: Matematik konu anlat�m�

1. Benzer Üçgenler
Kar��l�kl� aç�lar� e� ve kar��l�kl� kenarlar� orant�l� olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF üçgenleri için;

oran� yaz�l�r Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve
ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

e�itli�inde verilen k say�s�na, benzerlik oran� yada benzerlik

katsay�s� denir.

k = 1 olan benzer üçgenlerde kar��l�kl� kenarlar e�it oldu�undan, bu üçgenlere e� üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerli�i yaz�l�rken e� aç�lar�n s�ralanmas�na dikkat edilir.

2. Aç� - Aç� Benzerlik Teoremi
Kar��l�kl� iki�er aç�lar� e� olan üçgenler benzerdir.

�ekilde verilen üçgenlerde

�ki�er aç�lar� e� oldu�undan, üçüncü aç�lar� da e� olmak zorundad�r. Dolay�s�yla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.
m(C)=m(F)

3. Kenar - Aç� - Kenar Benzerlik Teoremi
�ki üçgenin kar��l�kl� iki�er kenar� orant�l� ve bu kenarlar�n olu�turdu�u kar��l�kl� aç�lar e� ise, üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF aç�lar� e�, bu aç�lar�n kenarlar� da orant�l� ise, bu iki üçgen benzerdir.
BAC aç�s�n�n k�sa kenar�n�n EDF aç�s�n�n k�sa kenar�na oran�, BAC aç�s�n�n uzun kenar�n�n EDF aç�s�n�n uzun kenar�na oran�na e�ittir.

4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi
�ki üçgenin kar��l�kl� bütün kenarlar� orant�l� ise bu iki üçgen benzerdir.

Kenarlar� orant�l� olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orant�l� kenarlar� gören aç�lar e�tir.
m(A) = m(D),
m(B) = m(E),
m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi
ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yönde� aç�lar e�
olaca��ndan ADE ~ ABC dir.

A��rl�k merkezinden çizilen paralel do�ru kenarlar� 1birime 2 birim oran�nda böler. ABC üçgeninde G a��rl�k merkezi ve [KL] // [BC]
|AK|=2|KB|
|AL|=2|LC|

6. Tales Teoremi
Paralel do�rular kendilerini kesen do�rular� ayn� oranda
bölerler. d1 // d2 // d3 do�rular� için

Buradan

de elde edilir

[AB] // [DE] ise olu�an içters aç�lar�n e�itli�inden, ABC ~ EDC olur. Buradan,
e�itli�i elde edilir. Buna kelebek benzerli�i de denir.

7. Benzerlik Özellikleri
Benzer üçgenlerin aç�lar� kar��l�kl� olarak e�, di�er bütün elemanlar� orant�l�d�r.

ABC ~ DEF Û

Burada k ya benzerlik oran� denir.
a. Benzer üçgenlerde orant�l� kenarlara ait yüksekliklerin oran� benzerlik oran�na e�ittir.

b. Benzer üçgenlerde orant�l� kenarlara ait kenar-ortay uzunluklar�n�n oran� benzerlik oran�na e�ittir.

c. Benzer üçgenlerde e� aç�lara ait aç�ortay uzunluklar�n�n oran� benzerlik oran�na e�ittir.

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oran� benzerlik oran�na e�ittir.

e. ABC üçgeninde içte�et çemberin yar�çap� rABC ve çevrel çemberin yar�çap� RABC , DEF üçgeninde içte�et çemberin yar�çap� rDEF ve çevrel çemberin yar�çap� RDEF olsun.

f. Alanlar oran�
Benzer üçgenlerin alanlar�n�n oran� benzerlik oran�n�n karesine e�ittir.

g. Benzerlik oran� k = 1 olan üçgenler e� üçgenlerdir.

Kenarlar� e�it aral�kl� paralellerle bölünmü� olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 � gibi tek say�larla orant�l� olarak artar.

[AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden,

|AB|.|FC|=|DC|.|BF|

8. Özel Teoremler
a. Menelaüs
ABC üçgeni KM do�ru parças� ile �ekildeki gibi kesiliyor ise

b. Seva
ABC üçgeni içerisinde al�nan bir P noktas� için,

__________________

Kalici Baglanti Yorum (0) Yorum yaz!

Lise geometri konu anlat�m�, geometride yamuk nedir, Yamukta a��lar, Yamu�un Alan� nas�l hesaplan�r, �kizkenar Yamuk, Dik Yamuk, Yamukta Orta Taban, Yamukta K��egenlerin Ay�rd�� Par�alar�n Alan�

22/2/2009 � Kategori: Matematik konu anlat�m�

Yamuk Alt ve üst kenarlar� paralel olan dörtgenlere yamuk denir.
�ekildeki ABCD yamu�unda [AB] // [DC] dir.

1. Yamukta aç�lar
[AB] // [DC] oldu�undan
x + y = 180°
a + b = 180°

Kar��l�kl� iki kenar� paralel olan dörtgenlerde aç�ortay verilmi� ise ikizkenar üçgen elde edebilece�imiz gibi, ikizkenarl�k verilmi� ise de aç�ortay elde ederiz.

2. Yamu�un Alan�
ABCD yamu�unda paralelkenarlar aras�ndaki uzakl��a yamu�un yüksekli�i denir. Alt taban� |DC| = a,
üst taban� |AB| = c
yüksekli�i |AH| = h
ABCD yamu�unun alan�

3. �kizkenar Yamuk
Paralel olmayan kenarlar� e�it olan yamuklara ikizkenar yamuk denir.

a. �kizkenar yamukta taban ve tepe aç�lar� kendi aralar�nda e�ittir.
m(A) = m(B) = y
m(D) = m(C) = x

b. �kizkenar yamukta kö�egen uzunluklar� e�ittir. Kö�egenlerin kesi�ti�i noktaya E dersek
|AE| = |EB|
|DE| = |CE|

Kö�egen uzunluklar� birbirine e�it olan her yamuk ikizkenard�r.

c. �kizkenar yamukta üst kö�elerden alt tabana dikler çizilmesiyle ADK ve BCL e� dik üçgenleri olu�ur. |DC| = a
|KL| = c

4. Dik Yamuk
Kenarlar�ndan biri alt ve üst tabana dik olan yamu�a dik yamuk denir.
|AD| = h ayn� zamanda yamu�un yüksekli�idir.

5. Yamukta Orta Taban
a. ABCD yamu�unda E ve F kenarlar�n orta noktalar� ise EL do�rusuna orta taban denir.
[AB] // [EF] // [DC]

Yamu�un alan�

oldu�undan

A(ABCD)=Orta taban x Yükseklik b. Yamukta kö�egenin orta tabanda ay�rd�� parçalar

ABCD yamu�unda EF orta taban

6. Yamu�un kö�egenlerinin kesim noktas�ndan tabanlara çizilen paralel;
ABCD yamu�unda L kö�egenlerin kesim noktas�d�r.
[AB] // [MN] // [DC]

7. Kenar Uzunluklar� Bilenen Yamuk
Bir ABCD yamu�unun kenar uzunluklar� biliniyor ise kenarlardan birine paralel çizilerek bir paralelkenar ve bir üçgen olu�turulur.

8. Kö�egenleri Dik Kesi�en Dik Yamuk
ABCD dik yamu�unda
[AC] ^ [BD] BD ye paralel çizildi�inde olu�an dik üçgende
h2=a.c

9. Kö�egenleri Dik Kesi�en �kizkenar Yamuk
ABCD yamu�unda
|AD| = |BC|
[AC] ^ [BD]
yamu�un yüksekli�i

10. Yamukta Kö�egenlerin Ay�rd�� Parçalar�n Alan� Herhangi bir yamukta kö�egenler çizildi�inde
[AB] // [DC]

A(ABCD)=A(BCE)=S

Bir yamukta alt ve üst iki kö�enin, kar�� kenar�n orta noktas� ile birle�tirilmesi sonucu olu�an alan yamu�un
alan�n�n yar�s�na e�ittir.
|BE| = |EC|
A(ABCD) = 2A(ADE)

l [AB] // [EF] // [DC], |AB| = a
|EF| = b
|DC| = c
A(ABFE) = S2
A(EFCD) = S1

__________________

kaynak http://www.ogameclub.com/geometri/35986-yamuk.html

Kalici Baglanti Yorum (0) Yorum yaz!

Lise geometri dersi konular� dairenin �evresi ve alan� ders anlat�m�, dairenin �evresi ve alan� nas�l hesaplan�r, Daire Diliminin Alan� ve Yay Par�as�n�n Uzunlu�u, Daire Kesmesinin Alan�, Daire Halkas�n�n Alan�, �emberde Benzerlik, �emberde Benzerlik

22/2/2009 � Kategori: Matematik konu anlat�m�

O merkezli ve r yar�çapl� bir dairede
Dairenin Alan� = pr2

Dairenin Çevresi = 2pr

2. Daire Diliminin Alan� ve Yay Parças�n�n Uzunlu�u
O merkezli dairede m(AOB) = a olacak �ekilde taral� dairediliminin alan�,

3. Daire Kesmesinin Alan�
O merkezli dairede taral� alan, daire diliminin alan�ndan
BOA üçgeninin alan�n�n ç�kar�lmas� ile bulunur.

4. Daire Halkas�n�n Alan�
O merkezli r1 ve r2 yar�çapl� çemberler aras�nda k dairenin alan�n�n ç�kar�lmas� ile bulunur.
Taral� Alan = pr22 – pr12
p ortak parantezinde
Taral� Alan =p(r22-r12)

O merkezli ve r yar�çapl� daire diliminde yay uzunlu�una

|AB| = l dersek

5. Çemberde Benzerlik
Bütün çemberler benzer oldu�undan e� aç�l� yaylarda benzerdir. Üçgenlerdeki benzerlik özelliklerini yaylarda da kullanabiliriz.
�ekildeki O merkezli AB, CD ve EF çember yaylar� veriliyor.
Üçgenlerde geçerli olan tüm benzerlik özellikleri burada da
geçerlidir.

Alanlar S, 3S, 5S s�ras�yla orant�l�d�r.

Ayn� merkezli daire dilimleri aras�nda kalan alan, yamu�un alan�na denktir.

h = r2 – r1

6. Te�et Çemberlerde Benzerlik
BTC aç�s� ortak aç� oldu�undan AT ve BT yaylar�n�n ölçüleri e�ittir.
Ölçüleri e�it yaylar benzer oldu�undan

__________________

Kalici Baglanti Yorum (0) Yorum yaz!

Lise geometri dersi ��GENDE A�IORTAY BA�INTILARI dersi ders konusu anlat�m� A��ortay nedir, ��GENDE KENARORTAY BA��NTILARI, Kenarortay Uzunlu�u nedir, Dik ��gende Kenarortaylar

22/2/2009 � Kategori: Matematik konu anlat�m�

ÜÇGENDE AÇIORTAY BA�INTILARI

1. Aç�ortay nedir
Herhangi bir aç�n�n ölçüsünü iki e� aç�ya bölen ��nlara aç�ortay denir.
Yandaki �ekilde AOB aç�s�n� iki e� aç�ya ay�ran [OC ��n�na aç�ortay denir.

Aç�ortay üzerindeki herhangi bir noktadan aç�n�n kenarlar�na çizilen dik uzunluklar e�ittir.
AOB bir aç�,
[OC aç�ortay
m(AOC) = m(COB)
|AC| = |CB| AOC ve BOC e�
üçgenler oldu�undan
|OA| = |OB|

2. �ç Aç�ortay Ba��nt�s� nedir
ABC üçgeninde [AN] aç�ortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] taban�na göre, yükseklikleri e�it oldu�undan

olur .....(1)

ABN üçgeninde [AB] kenar�na ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenar�na ait yüksekli�e e�ittir.

olur .....(2)

[AN] aç�ortay olmak �art�yla bu iki alan oran�n� birle�tirirsek; (1) ve (2) den

olur
ABC üçgeninde [AN] aç�ortay olmak �art�yla

Buradan

ve b.y=c.x e�itlikleri de elde edilir.

3. �ç Aç�ortay Uzunlu�u nedir
ABC üçgeninde A kö�esinden çizdi�imiz aç�ortay
uzunlu�una nA dersek

4. D�� Aç�ortay Ba��nt�s� nedir
ABC üçgeninde [AD], A kö�esine ait d�� aç�ortayd�r.

5. D�� Aç�ortay Uzunlu�u
ABC üçgeninde [AD] d�� aç�ortay�n�n uzunlu�una
n'A dersek

6. �ç aç�ortayla d�� aç�ortay aras�ndaki aç�
m(DAE)=90°

ABC üçgeninde [AD] iç aç�ortay� ile [AE] d�� aç�ortay� aras�ndaki aç� için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir.
[DA] ^[AE]

Bir üçgende iç aç�ortaylar�n kesim noktas� iç te�et çemberin merkezidir.

P noktas�n�n kenarlara uzakl�� e�ittir. Merkezden indirilen dikmeler iç te�et çemberin yar�çap� olur.

ÜÇGENDE KENARORTAY BA��NTILARI

1. A��rl�k Merkezi
Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesi�irler.Kenarortaylar�n kesi�im noktas�na a��rl�k merkezi denir.
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylar�n�n
kesi�tikleri G noktas�na ABC üçgeninin a��rl�k merkezi
denir.

a. A��rl�k merkezi kenarortay�, kenara 1 birim, kö�eye 2 birim olacak �ekilde böler.
ABC üçgeninde D, E, F noktalar� bulunduklar� kenarlar�n
orta noktalar� ve G a��rl�k merkezi ise

e�itlikleri vard�r.

b. Bir üçgende iki kenarortay�n kesi�mesiyle olu�an nokta a��rl�k merkezidir.

c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| oldu�undan G noktas�
a��rl�k merkezidir.

d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| oldu�undan G noktas� a��rl�k merkezidir.

e. ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
e�itli�ini sa�layan G noktas� ABC
üçgeninin a��rl�k merkezidir.

2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yar�s�na e�ittir.
ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
|AG|=|DC|=|BD|

3. Kenarortaylar�n Böldü�ü Alanlar

a.Kenarortaylar üçgenin alan�n� alt� e�it parçaya bölerler.

b.G a��rl�k merkezi kö�elere birle�tirildi�inde üçgenin alan� üç e�it parçaya bölünür.

c. G a��rl�k merkezi kenarlar�n orta noktalar� ile birle�tirildi�inde üçgenin alan� üç e�it parçaya bölünür.

4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x e�itlikleri bulunur.

K noktas� [AD] kenarortay�n�n orta noktas�d�r.
[FE] //[BC] 2[FE]=[BC]
a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildi�inde �ekildeki gibi bir alan bölünmesi olu�ur.

b.Kenarlar�n orta noktalar�n� birbirine birle�tirdi�imizde üçgenin alan� dört e�it parçaya bölünür.

5. Kenarortay Uzunlu�u nedir
ABC üçgeninde A kö�esinden çizilen
kenarortay�n uzunlu�una Va dersek

Bu ba��nt� di�er kenarortaylar içinde geçerlidir.

Kenarortaylar taraf tarafa toplan�rsa

6. Dik Üçgende Kenarortaylar
A aç�s� 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar aras�nda

__________________

Kalici Baglanti Yorum (0) Yorum yaz!

Matematik dersi Geometrik kavramlar �devi konu anlat�m� ve ders notlar�

22/2/2009 � Kategori: Matematik konu anlat�m�

Geometride “Nokta”, “Do�ru”, “Düzlem” gibi kavramlar tan�ms�z olarak kabul edilir.
1. Nokta: “.” biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.
2. Do�ru: �ki uçtan s�n�rs�z noktalar kümesidir.

3. Düzlem: Her yönde sonsuza giden noktalar kümesidir.
E düzlemi dört yönde de sonsuza kadar gider.
E düzlemi yandaki gibi gösterilir. 4. Do�ru Parças� : �ki nokta ile bu iki nokta aras�nda kalan noktalar�n birle�imidir.

[AB] sembolüyle gösterilir.
[AB] ® AB do�ru parças�
|AB| ® AB do�ru parças�n�n uzunlu�u
5. I��n : Bir ba�lang�ç noktas� olup sonsuza giden noktalar kümesidir.

[AB ® AB ��n�

6. Yar� Do�ru: [AB ��n�ndan A noktas�n�n ç�kar�lmas� ile elde edilen kümeye AB yar�do�rusu denir.

]AB sembolüyle gösterilir.

Do�rusal nokta kümelerinin gösterimi

[AB]: A ve B noktalar� dahil. [AB[: A noktas� dahil, B noktas� dahil de�il ]AB[: A ve B noktalar� dahil de�il AÇILAR
Ba�lang�ç noktalar� ortak iki ��n�n birle�imine aç� denir.
�ekilde [AC ve [AB ��n�n�n olu�turdu�u aç� BAC aç�s�d�r.
[ABÈ[AC = BAC aç�s�d�r.BAC, CAB olarak veya A ile
gösterilir.[AB ve [AC ��nlar� aç�n�n kenarlar�,

A noktas� aç�n�n kö�esidir.
Aç� yaz�l�rken aç�n�n kö�esi olan nokta ortada yaz�l�r.
1. Aç�n�n Ölçüsü
[AB ile [AC aras�ndaki aç�kl��n ifadesine aç�n�n ölçüsü
denir. BAC aç�s�n�n ölçüsü a d�r.m(BAC) = a veya
m(A) = a olarak gösterilir.

ölçüleri e�it olan aç�lara e� aç�lar denir.
2. Aç�n�n Düzlemde Ay�rd�� Bölgeler
Bir aç� düzlemi üç bölgeye ay�r�r.
a. Aç�n�n kendisi
[AB ve [AC ��nlar�.
b. �ç bölge (taral� alan)
c. D�� bölge

3. Aç� ölçü birimleri
Aç� ölçüsü birimi olarak genelde derece kullan�l�r. Dereceden ba�ka Grad ve Radyan birimleri de kullan�l�r. Aç� ölçüsü birimleri aras�nda,
360° = 400 G(grad) = 2p (radyan) e�itli�i vard�r.
Bir ��n�n ba�lang�ç noktas� etraf�nda bir tur döndürülmesi ile elde edilen aç� 360° dir.
Derecenin alt birimleri
1° = 60' (dakika)
1' = 60" (saniye)
1° = 3600" dir.
90° = 89° 59' 60" ve
180° = 179° 59' 60" olur.

4. Ölçülerine göre aç�lar
a. Ölçüsü 0° ile 90° aras�nda olan aç�lara dar aç� denir.

b. Ölçüsü 90° olanaç�lara dik aç� denir

c. Ölçüsü 90° ile 180° aras�nda olan aç�lara geni� aç� denir.

d. Ölçüsü 180° olan aç�lara do�ru aç� denir.

e. Ölçüsü 360° olan aç�ya tam aç� denir.

5. Kom�u aç�lar
Kö�eleri ve birer ��nlar� ortak olan, iç bölgesi ortak olmayan aç�lara kom�u aç�lar denir.
CAD ile DAB kom�u aç�lard�r.

6. Aç�ortay
Aç�y� iki e�it parçaya bölen ��na aç�ortay denir.
[AD, CAB aç�s�n�n aç�ortay�d�r.
Aç�ortay üzerinde al�nan her noktan�n aç�n�n kollar�na olan dik uzakl�klar� e�ittir.

7. Tümler aç�
Ölçüleri toplam� 90° olan iki aç�ya tümler aç�lar denir.
m(CAD)+m(DAB)=90°
a+b=90°
a aç�s�n�n tümlerinin ölçüsü (90° – a) d�r.

Kom�u tümler iki aç�n�n aç�ortay do�rular� aras�ndaki aç�n�n ülçüsü 45° dir.

[OA] ^ [OB]
m(KOL) = 45°
8. Bütünler aç�
Ölçüleri toplam� 180° olan iki aç�ya bütünler aç�lar denir.

m(DAB)+m(CAD)=180°
x+y=180°
x aç�s�n�n bütünlerinin ölçüsü (180° – x) dir.
Kom�u bütünler iki aç�n�n aç�ortay do�rular� aras�ndaki aç�n�n ölçüsü 90° dir.

m(KOL) = 90° 9. Ters Aç�lar
Kesi�en iki do�runun olu�turdu�u aç�lardan kom�u olmayanlara ters aç�lar denir.
Ters aç�lar�n ölçüleri e�ittir.

m(x)=m(z) ve
m(t)=m(y) dir.

10. Paralel iki do�runun bir kesenle yapt�� aç�lar
a. Yönde� aç�lar
d1 // d2 ise

Yönde� aç�lar�n ölçüleri e�ittir.

m(a) = m(x) ; m(b) = m(y)
m(c) = m(z) ; m(d) = m(t)
b. �çters aç�lar
d1 // d2 ise

a ile z ve b ile t içters aç�lar�d�r.
�çters aç�lar�n ölçüleri e�ittir. m(a) = m(z); m(b) = m(t)

D��ters aç�lar
d1 // d2 ise

D��ters aç�lar�n ölçüleri e�ittir.
m(c)=m(x)=m(d)=m(y)

d. Kar�� durumlu aç�lar
d1 // d2 ise

Kar�� durumlu aç�lar�n toplam� 180° d�r. m(a) + m(t) = 180°; m(b) + m(z) = 180°

Kar�� durumlu aç�lar�n aç�ortaylar� aras�ndaki aç�n�n ölçüsü 90° dir.
Paralel do�rular aras�nda birden fazla kesenin oldu�u durumlarda kesi�im noktalar�ndan yeni paraleller çizilir. e. Birden fazla kesenli durumlar
d1 // d2 ise B noktas�ndan d1 ve d2 do�rular�na paralel çizersek m(ABC) = a + b olur.

B noktas�ndan paralel çizersek m(ABD) + x = 180°
m(DBC) + z = 180° buradan
x + y + z = 360° dir.

f. Paralel do�rular aras�ndaki ard��k z�t yönlü aç�lar
d1 // d2 ise a + b + c = x + y olur.
Bu tür sorular� k�r�lma noktalar�ndan paraleller
çizerek de çözebiliriz.

g. Kollar� paralel ve kollar� dik aç�lar
Aç�lar� olu�turan ��nlar ayn� yönde ve paralel ise bu iki aç�n�n ölçüsü e�ittir.

Aç�lar� olu�turan ��nlar z�t yönlü ve paralel ise bu iki aç�n�n ölçüsü e�ittir.

Aç�lar� olu�turan ��nlardan biri ayn� di�eri z�t yönlü ve paralel ise bu iki aç�n�n ölçüleri toplam�;
a + b = 180° olur.

Kenarlar� birbirine dik kar��l�kl� iki aç�n�n ölçüleri toplam� a + b = 180° olur.

Kenarlar� �ekildeki gibi birbirine dik aç�lar�n ölçüleri e�ittir.

Kalici Baglanti Yorum (0) Yorum yaz!

Lise matematik dersi �dev konusu do�runun analitik incelemesi konu anlat�m�

22/2/2009 � Kategori: Matematik konu anlat�m�

Yukar�daki �ekillerde d do�rusunun farkl� durumlar�na kar��l�k olu�an a e�im aç�s� gösterilmi�tir.
Do�runun denklemi:

Bir do�ru üzerindeki noktalar�n koordinatlar�n� veren e�itli�e do�runun denklemi denir.
y = mx + n y = mx + n e�itli�inde m: e�im, n: sabit say�d�r. ax + by + c = 0 �eklinde verilen denklemde y yaln�z b�rak�l�rsa
elde edilir x in katsay�s� e�imi verir.
Öyle ise,
ax + by + c = 0 do�rusunun e�imi

E�imi e�it olan do�rulara paralel do�rular denir. Do�rular�n e�imleri aras�ndaki ba��nt�dan daha sonra bahsedece�iz.
2. �ki Noktas� Bilinen Do�runun E�im ve Denklemi
a. �ki noktas� bilinen do�runun e�imi

Analitik düzlemde A(x1, y1), B(x2, y2) noktalar� bilinen d do�rusu üzerinde A, B noktalar�n�n koordinatlar� kullan�larak olu�turulan ABC üçgeninin A aç�s� ile d do�rusunun e�im aç�s� yönde� aç�lar olduklar�ndan e�ittirler.
Buradan

oldu�undan

�eklinde de yaz�labilir

b. �ki noktas� bilinen do�runun denklemi

A(x1, y1), B(x2, y2) noktalar�ndan geçen d do�rusu üzerinde do�ruyu olu�turan noktalar� temsil eden P(x, y) noktas� alal�m. Bu üç noktadan herhangi ikisini kullanarak yazaca��m�z e�imler e�ittir. Buna göre,

Bu e�itlik bize iki noktas� bilinen do�ru denklemini verir.

�eklinde de yaz�labilir. Sonuç ayn�d�r.

Orijinden yani O(0,0) noktas�ndan geçen do�rularda x = 0 için y = 0 olaca��ndan

y = mx + n denklemindeki n terimi s�f�r olur.
O halde orijinden geçen do�runun e�imi m ise denklemi
y= mx
Do�ru denklemi ax + by + c = 0 �eklinde ise ve orijinden geçiyorsa c = 0 d�r.
Do�ru denklemi ax + by = 0 olur.
3. Bir Noktas� ve E�imi Bilinen Do�runun Denklemi
A(x1, y1) noktas�ndan geçen ve e�imi m olan do�ru denklemi

A(x1, y1) noktas� ve P(x, y) noktas� kullan�larak yaz�lan e�im de�eri verilen e�ime e�itlenir.
4. Eksenlere Paralel Do�rular�n Denklemi
a. Eksen do�rular�
Analitik düzlemde x (apsis) ekseninde bütün noktalar�n y si (ordinat�) s�f�r oldu�undan x ekseni ayn� zamanda y = 0 do�rusudur.
y (ordinat) ekseni de x = 0 do�rusudur.

b. x eksenine paralel do�rular
y = k do�rusu; y eksenini k noktas�nda keser, x eksenine paralel ve y eksenine diktir.

c. y eksenine paralel do�rular
x = k do�rusu;
x eksenini k noktas�nda keser, y eksenine paralel ve x eksenine diktir.

5. Eksenleri Kesti�i Noktalar� Bilinen Do�rular�n Denklemi
x eksenini a noktas�nda y eksenini de b noktas�nda kesen do�runun denklemi

Do�ru (a, 0) ve (0, b) noktalar�ndan geçti�ine göre, do�runun denklemi iki noktadan geçen do�ru denklemi özelli�i kullan�larak da yaz�labilir.

Dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlar�na e�it olan noktalar�n olu�turdu�u do�ruya
y=x do�rusu denir.

Dik koordinat sisteminde apsisleri ile ordinatlar� birbirinin ters i�aretlisi olan noktalar�n olu�turdu�u do�ruya
y= -x do�rusu denir.

y = x ve y = –x do�rular� ayn� zamanda koordinat eksenlerinin aç�ortaylar�d�r. Koordinat eksenleri ile yapt�klar� aç�lar 45° dir.

6. Do�rular�n Grafikleri
Do�rular�n grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur.
x eksenini kesti�i nokta için y = 0 ve y eksenini kesti�i nokta için x = 0 de�erleri al�n�r.

__________________

Kalici Baglanti Yorum (1) Yorum yaz!

Lise matematik �devi b�lme ve b�l�nebilme konusu konu anlat�m�

22/2/2009 � Kategori: Matematik konu anlat�m�

BÖLME ve BÖLÜNEB�LME

A. BÖLME
A, B, C, K birer do�al say� ve B ¹ 0 olmak üzere,
*

bölme i�leminde,
*
• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
• A = B . C + K d�r.
• Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
• Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri de�i�tirilebilir. Bu* durumda K ile A de�i�mez.
• K = 0 ise, A say�s� B ile tam bölünebiliyor denir.
*
B. BÖLÜNEB�LME KURALLARI
1. 2 �le Bölünebilme
Birler basama��ndaki rakam� çift olan say�lar 2 ile tam bölünür.
Tek say�lar�n 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
*
2. 3 �le Bölünebilme
Rakamlar�n�n say�sal de�erleri toplam� 3 ün kat� olan say�lar 3 ile tam bölünür.
Bir say�n�n 3 ile bölümünden kalan, rakamlar�n�n toplam�n�n 3 ile bölümünden kalana e�ittir.
*
3. 4 �le Bölünebilme
Bir say�n�n onlar basama��ndaki rakam ile birler basama��ndaki rakam�n (son iki basamak) belirtti�i say�, 4 ün kat� olan say�lar 4 ile tam bölünür.
... abc say�s�n�n 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana e�ittir.
• ... abc say�s�n�n 4 ile bölümünden kalan
c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana e�ittir.
*
4. 5 �le Bölünebilme
Birler basama��ndaki rakam 0 veya 5 olan say�lar 5 ile tam bölünür.
Bir say�n�n 5 ile bölümünden kalan, o say�n�n birler basama��ndaki rakam�n 5 ile bölümünden kalana e�ittir.
*
5. 7 �le Bölünebilme
(n + 1) basamakl� anan-1 ... a4a3a2a1a0 say�s�n�n 7 ile tam bölünebilmesi için,
k Î Z olmak üzere,
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... = 7k
olmal�d�r.
*
Ü* Birler basama�� a0, onlar basama�� a1, yüzler basama�� a2, ... olan say�n�n (...a5a4a3a2a1a0 *say�s�n�n) 7 ile bölümünden kalan
*** (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ...
*** i�leminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana e�ittir.
*
6. 8 �le Bölünebilme
Yüzler basama��ndaki, onlar basama��ndaki ve birler basama��ndaki rakamlar�n (son üç rakam�n) belirtti�i say� 8 in kat� olan say�lar 8 ile tam bölünür.
3000, 3432, 65104 say�lar� 8 ile tam bölünür.
*
Ü* Birler basama�� c, onlar basama�� b, yüzler basama�� a, ... olan say�n�n (...abc say�s�n�n) 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplam�n�n 8 ile bölümünden kalana e�ittir.
*
7. 9 �le Bölünebilme
Rakamlar�n�n toplam� 9 un kat� olan say�lar 9 ile tam bölünür.
Bir say�n�n 9 ile bölümünden kalan, o say�n�n rakamlar�n�n toplam�n�n 9 ile bölümünden kalana e�ittir.
*
8. 10 �le Bölünebilme
Birler basama��ndaki rakam� 0 (s�f�r) olan say�lar 10 ile tam bölünebilir. Bir say�n�n birler basama��ndaki rakam o say�n�n 10 ile bölümünden kaland�r.
*
9. 11 �le Bölünebilme
(n + 1) basamakl� anan–1 ... a4a3a2a1a0 say�s�n�n 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k
ve k Î Z olmal�d�r.
*
Ü* (n + 1) basamakl� anan–1 ... a4a3a2a1a0 say�s�n�n 11 ile bölümünden kalan
*** (a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... i�leminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana e�ittir.
*

Aralar�nda asal iki say�ya bölünebilen bir say�, bu iki say�n�n çarp�m�na da tam bölünür.
•* 2 ve 3 ile tam bölünen say�lar 6 ile de bölünür.
•* 3 ve 4 ile tam bölünen say�lar 12 ile de bölünür.
*
*
C. BÖLEN KALAN �L��K�S�
A, B, C, D, E, K1, K2 uygun ko�ullarda birer do�al say� olmak üzere,
A n�n C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.

Buna göre,
• A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.
• A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.
• D . A n�n C ile bölümünden kalan D . K1 dir.
• AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.
Burada kalan de�erler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.
*
D. ÇARPANLAR �LE BÖLÜM
Bir A do�al say�s� B . C ile tam bölünüyorsa A say�s� B ve C do�al say�lar�yla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin kar��t� (A say�s� B ile ve C ile tam bölünüyorsa A say�s� B . C ile tam bölünür.) her zaman do�ru de�ildir.
Ü* 144 say�s� 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 say�s� 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
Ü* 6 say�s� 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 say�s� 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.
*
E. B�R TAM SAYININ TAM BÖLENLER�
Bir tam say�n�n, asal say�lar�n çarp�m� biçiminde yaz�lmas�na bu say�n�n asal çarpanlar�na ayr�lmas� denir.
a, b, c birbirinden farkl� asal say�lar ve m, n, k pozitif tam say�lar olmak üzere,
*
A = am . bn . ck* olsun.
*
•** A y� tam bölen asal say�lar a, b, c dir.
•** A say�s�n�n pozitif tam bölenlerinin say�s�:
*** (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
•** A say�s�n�n pozitif tam say� bölenlerinin ters i�aretlileri de negatif tam say� bölenidir.
•** A say�s�n�n tam say� bölenleri say�s�:
**** 2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
•** A say�s�n�n tam say� bölenleri toplam� 0 (s�f�r) d�r.
•** A say�s�n�n pozitif tam say� bölenlerinin toplam�:
***
•** A say�s�n�n asal olmayan tam say� bölenlerinin say�s�, A n�n tam say� bölenlerinin say�s�ndan A n�n asal bölenlerinin say�s� ç�kar�larak bulunur.
•** A n�n asal olmayan tam say� bölenleri toplam�
**** – (a + b + c) dir.
•** A say�s�ndan küçük A ile aralar�nda asal olan say�lar�n say�s�:
***
•** A say�s�n�n�n pozitif tam say� bölenlerinin çarp�m�:

__________________

Kalici Baglanti Yorum (0) Yorum yaz!

Matematik Dersi Konular�n�n grafik ve animasyonlarla sesli ve g�rsel olarak anlat�m�, Eksene G�re Simetri

1/11/2008 � Kategori: Matematik konu anlat�m�

1. Eksene Göre Simetri
Eksene göre simetriyi ve eksenler aras�ndaki farkl�l�klar� ö�renin.

derse ba�lamak için t�kla

Kalici Baglanti Yorum (0) Yorum yaz!

� �nceki :: Sonraki �